Full Page

Βέλτιστο Χαρτοφυλάκιο μετοχών του δείκτη FTSE/ΧΑΑ20

στο Χρηματιστήριο Αθηνών για τα έτη 1997-1999

Περίληψη

Σε αυτή την εργασία υπολογίζεται ένα χαρτοφυλάκιο οκτώ μετοχών από τις είκοσι που μετέχουν στον δείκτη FTSE/ΧΑΑ20 του Χρηματιστηρίου Αθηνών για τα έτη 1997-1999. Το Χαρτοφυλάκιο είναι βέλτιστο με το κριτήριο του Roy ,της μέγιστης πιθανότητας να έχει απόδοση μεγαλύτερη από την βασική επένδυση χωρίς κίνδυνο (ρίσκο) δηλ την απλή κατάθεση σε τράπεζα ή την επένδυση σε γραμμάτια δημοσίου.

1.Εισαγωγή

Η εργασία χρησιμοποιεί θεωρία επιλογής χαρτοφυλακίου που αρχικά εισήγαγε ο Markovitch την δεκαετία 1950-1960, με το κλασσικό διάγραμμα μέσης απόδοσης-διακύμανσης (ρίσκου) και συνέχισαν άλλοι ερευνητές όπως Sharp ,Roy (“Safety first”) etc τις επόμενες δεκαετίες .

Υπολογίζεται ένα χαρτοφυλάκιο οκτώ μετοχών από τις είκοσι που συμμετέχουν στον δείκτη FTSE/ΧΑΑ20 με δεδομένα των ετών 1997-1998 και 1998-1999 . Η επιλογή του χαρτοφυλακίου γίνεται έτσι ώστε να μεγιστοποιείται η πιθανότητα απόδοσης περισσότερο από την απόδοση την βασική επένδυση χωρίς κίνδυνο (γραμμάτια δημοσίου) .Ταυτόχρονα ελαχιστοποιείται η πιθανότητα απόδοσης λιγότερο από την βασική επένδυση χωρίς κίνδυνο. Η προσέγγιση αυτή λέγεται Safety-first και αναφέρεται επίσης ως «το κριτήριο Roy» Ανάγεται ισοδύναμα στην μεγιστοποίηση το πηλίκου Sharp (συντελεστής μεταβλητικότητας) και η λύση χρησιμοποιεί μη γραμμικό προγραμματισμό ( συνθήκες Karush-Khun-Tucker ) .Μια ιδιαίτερα απλή αναλυτική λύση παρέχεται με το single-index capital asset pricing model όπου ο πίνακας variance-covariance υπολογίζεται απλά μέσω των beta ως προς τον γενικό δείκτη. Το χαρτοφυλάκιο που προκύπτει είναι πάνω στο efficient frontier, επιβεβαιώντας έτσι την κλασσική θεωρία του διαγράμματος mean-variance ,αλλά επιπλέον είναι βέλτιστο με το κριτήριο safety-first του Roy .

Το χαρτοφυλάκιο αποτελείται από οκτώ μετοχές που με τα ποσοστά συμμετοχής τους είναι: Τράπεζα Πειραιώς 35,64% , Τράπεζα Μακεδονίας-Θράκης 29,03%, Βιοχάλκο 21,39% , Goody's 7,77% , Intrakom 5,68% , Εθνική Τράπεζα 0,27% , Ιονική Τράπεζα 0,18% , Εμπορική Τράπεζα 0,05% .

Στις επόμενες παραγράφους περιγράφουμε τις ακριβείς υποθέσεις που απατούνται και την μέθοδο με την οποία προκύπτει το χαρτοφυλάκιο.

2. Οι υποθέσεις του μοντέλου.

Κάνουμε τις συνηθισμένες υποθέσεις του Single-index CAPM model που είναι οι εξής

Α. Κάθε μετοχή έχει σταθερή μέση απόδοση κατά την διάρκεια της μελέτης και σταθερή συσχέτιση με κάθε άλλη.

Β. Κάθε μετοχή i συσχετίζεται με τις άλλες (την αγορά) κατά κύριο λόγο με την εξάρτησή της γραμμικά από τον γενικό δείκτη με την εξίσωση

(1) R_i =a_i +b_i R_m +e_i

Όπου R_i η απόδοση της μετοχής i , b_i είναι το μπέτα της μετοχής και e_i

eίναι το σφάλμα .Η εξίσωση αυτή υποτίθεται για κάθε μέρα οπότε οι αποδόσεις είναι οι ημερήσιες ποσοστιαίες μεταβολές . Το σφάλμα της γραμμικής σχέσης υποτίθεται τέτοιο ώστε

(2) μέση τιμή του e_{i =}E(e_i)=0 ,

επιπλέον είναι ασυσχέτιστα με το σφάλμα σταθερής μέσης απόδοσης της αγοράς και των άλλων μετοχών δηλ

(3) E(e_i (R_m –E(R_m ) )=0 ,

(4) E(e_i e_j)=0 .

Η τελευταία εξίσωση απλοποιεί σημαντικά τον πίνακα των variance -covariance του συστήματος .

Γ. Αν το χαρτοφυλάκιο δεν υπολογίζεται ως ιστορικό μόνο αλλά θα χρησιμοποιηθεί ως επένδυση για μελλοντικό χρονικό διάστημα ,οι ίδιες υποθέσεις ισχύουν και το συνολικό διάστημα ,ιστορικό και μελλοντικό Υποτίθεται που δεν υπάρχει δυνατότητα συναλλαγών και προσαρμογών του χαρτοφυλακίου από την έναρξη μέχρι την λήξη αυτού του χρονικού διαστήματος . Το ιστορικό διάστημα θεωρείται καλό δείγμα για το συνολικό διάστημα .

Για τις υποθέσεις αυτές βλέπε ELTON E.J.-GRUBER M.J. (1991) σελ 101-103.

Στην επόμενη παραγράφο τίθεται ο στόχος και τα κριτήρια επιλογής .

3.Τα κριτήρια επιλογής του χαρτοφυλακίου. Απόδοση και ρίσκο.

Για να βρούμε τον τρόπο επιλογής του χαρτοφυλακίου καθορίζουμε πρώτα τις ιδιότητες που πρέπει να πληροί .

Η προσέγγιση που ακολουθούμε έχει ονομαστεί «Safety-first » ,βλ ELTON E.J.-GRUBER M.J. (1991) σελ 216 κεφ. 9. Πιό συγκεκριμένα από την κατηγορία αυτή των κριτηρίων θέτουμε το κριτήριο του Roy :

«Μεγιστοποίησε την πιθανότητα η απόδοση του χαρτοφυλακίου να είναι μεγαλύτερη από την απόδοση της βασικής επένδυσης χωρίς ρίσκο (γραμμάτια δημοσίου)» .

Αν συμβολίσουμε με R_p την απόδοση του χαρτοφυλάκιου και με R_F την απόδοση των γραμμάτιων δημοσίου το κριτήριο αυτό ξαναδιατυπώνεται ως

5) Ελαχιστοποίησε Prob(R_p < R_F )

Σε αυτό το σημείο χάρη απλότητας κάνουμε την επιπλέον υπόθεση πως τα σφαλματα έχουν κανονική κατανομή.

Δ. Τα σφάλματα e_i ακολουθούν την κανονική κατανομή .

Στην πραγματικότητα αυτή η υπόθεση δεν μας είναι απαραίτητη για το μοντέλο .Μπορούμε να την παρακάμψουμε χρησιμοποιώντας την ανισότητα του Tchebyschef

Και τον νόμο των μεγάλων αριθμών. Καταλήγουμε έτσι και πάλι ουσιαστικά στην ίδια μέθοδο επιλογής του χαρτοφυλακίου. Βλ ELTON E.J.-GRUBER M.J. (1991) σελ 220 κεφ. 9

Αποδεικνύεται στην προηγούμενη αναφορά πως το κριτήριο αυτό είναι ισοδύναμο με την μεγιστοποίηση του Sharp ratio δηλ του συντελεστή μεταβλητικότητας

6) Μεγιστοποίησε το (R_p - R_F )/σ_p

όπου σ_p είναι η τυπική απόκλιση του χαρτοφυλακίου.

Το κριτήριο αυτό στην βιβλιογραφία είναι επίσης γνωστό ως εκείνο το χαρτοφυλάκιο που μεγιστοποιεί την κλίση μίας εφαπτόμενης ευθείας από το σημείο το της απόδοσης χωρίς ρίσκο (risk-free rate) και του efficient frontier (βλ πάλι ELTON E.J.-GRUBER M.J. (1991) σελ 72 κεφ. 4)

Στο επόμενο κεφάλαιο περιγράφουμε την τεχνική επίλυσης.

4. Η τεχνική της επιλογής του χαρτοφυλακίου και το αποτέλεσμα.

Το κριτήριο του Roy όπως είδαμε στην μεγιστοποίηση του Sharp ratio δηλ του συντελεστή μεταβλητικότητας (R_p - R_F )/σ_p

Αυτή η ποσότητα είναι δεν είναι γραμμική και έτσι οδηγούμαστε σε μη γραμμικό προγραμματισμό. Το γενικό πρόβλημα μη γραμμικού προγραμματισμού είναι σχετικά εύκολα επιλύσιμο με αριθμητικές μεθόδους .Ένας τέτοιος αλγόριθμος επίλυσης είναι ο Solver του προγράμματος Microsoft Excel .Με υποθέσεις κυρτότητας η κοιλότητας οδηγεί στο θεώρημα Karush-Kuhn-Tucker (βλ ECKER J.G –KUPFERSCHMID M. (1988) κεφάλαιο 9 σελ 299) .

Σημαντική απλοποίηση της δομής των συνδιακυμάνσεων γίνεται με την υπόθεση Β της παραγράφου 2. ¨Έτσι οδηγούμαστε στην τεχνική επίλυσης γνωστή ως “cut-off-rate” (βλ. πάλι ELTON E.J.-GRUBER M.J. (1991) σελ 161 κεφ. 7).

Η τεχνική αυτή συνίσταται στην κατάταξη των μετοχών κατά το πηλίκο (R_i - R_F )/b_i

Με φθίνουσα σειρά και κατόπιν η επιλογή μόνο των μετοχών που έχουν αυτό το πηλίκο μεγαλύτερο από την ποσότητα C_i

H ποσότητα αυτή υπολογίζεται από τον τύπο (7) και βασίζεται σε μετοχές με πηλίκο

(R_i - R_F )/b_i μεγαλύτερο από την τρέχουσα μετοχή που αναλύουμε κάθε φορά.

(7)

Σε αυτό τον τύπο το σ_ej είναι η τυπική απόκλιση των σφαλμάτων των μετοχών όπως ορίστηκαν στην υπόθεση Β στην παράγραφο 1

Αφού επιλεχθούν μετοχές υπολογίζεται η ποσοστιαία συμμετοχή τους χ_i στο χαρτοφυλάκιο από τους τύπους

(8)

(9)

Το αποτέλεσμα των υπολογισμών και το τελικό χαροφυλάκιο παρουσιάζονται στους επόμενους πίνακες .

ΠΙΝΑΚΑΣ 1

ΜΕΤΟΧΉ	Μέση ΗμερήσιαΑπόδοση	Υπερβάλ-λουσα Απόδοση	Μπέτα	Διακύμανση σφαλμάτων σε ^2	Υπερβάλλουσα απόδοση διά μπέτα
Τράπεζα Πειραιώς	0.5858	0.5564	1.0654	10.13	0.5222
Τράπεζα Μακεδονίας-Θράκης	0.4754	0.446	0.8986	7.72	0.4963
Βιοχάλκο	0.4148	0.3854	0.9750	5.53	0.3953
GOODY'S	0.4206	0.3912	1.0713	6.36	0.3652
INTRAKOM	0.2867	0.2573	0.7230	4.33	0.3559
Ιονική Τράπεζα	0.4113	0.3819	1.1719	5.66	0.3259
Εθνική Τράπεζα	0.3753	0.3459	1.1325	2.78	0.3054
Εμπορική Τράπεζα	0.3619	0.3325	1.1395	4.23	0.2918
TITAN	0.2678	0.2384	0.9930	4.13	0.2401
Τράπεζα Εργασίας	0.2748	0.2454	1.0638	3.1	0.2307
Τράπεζα Πίστεως	0.2404	0.211	1.1123	2.26	0.1897
Ηρακλής AEGΕΤ	0.2187	0.1893	1.0331	3.13	0.1832
3E	0.1878	0.1584	0.8673	4.02	0.1826
Αλουμίνιο Ελλάδος	0.1641	0.1347	0.7706	4.83	0.1748
O.T.E.	0.155	0.1256	0.7401	3.03	0.1697
AEGEK	0.1734	0.144	1.0339	7.97	0.1393
DELTA	0.1486	0.1192	0.8937	5.67	0.1334
ELVAL A.E.	0.1071	0.0777	0.8483	5.87	0.0916
Παπαστράτος	0.0843	0.0549	0.6645	7.2	0.0826
Μηχανική	0.0648	0.0354	0.8601	6.37	0.0412

Πίνακας 2

Το χαρτοφυλάκιο

ΜΕΤΟΧΗ	WI
ΤΡΑΠΕΖΑ ΠΕΙΡΑΙΩΣ	33.62%
ΤΡΑΠΕΖΑ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΘΡΑΚΗΣ	27.33%
BIOCHALKO	19.05%
INTRAKOM	11.90%
GOODY’S	6.30%
ΙΟΝΙΚΗ ΤΡΑΠΕΖΑ	1.80%

Το χαρτοφυλάκιο αυτό είχε μια μέση απόδοση 232,04 % όταν ο δείκτης FTSE20/ASE είχε απόδοση 78,18% στα έτη 1997-1998 και μπέτα 0,98 .

5.Επίλογος

Σε αυτή την εργασία περιγράψαμε την εφαρμογή μια κλασσικής θεωρίας στο Ελληνικό Χρηματιστήριο. Περισσότερο σύγχρονες προσεγγίσεις βασίζονται σε στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις (συνεχής χρόνος) ,με κόστος συναλλαγών και δυνατότητα συνεχούς αναπροσαρμογής του χαρτοφυλακίου. Ακόμα όμως και μία κλασική μέθοδος δίνει ένα πολύ ελκυστικό χαρτοφυλάκιο κατά 2,9 φορές πιο αποδοτικό από τον δείκτη FTSE20/ASE με απόδοση 232,04 %

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

BREIMAN L..(1961) Optimal gambling Systems for Favorable Games Proc.Fourth Berkeley Sympos. on Mathematics Statistics and Probability ,University of California Press ,Berkeley 1,pp65-78.

BROER D.P.-JANSEN W.J.(1998) Dynamic Portfolio Adjustment and Capital Controls: An Euler Equation Approach Southern Economic Journal 64(4) pp 902-921.

Constantinides G.M. (1979) Multiperiod consumption and investment behavior with convex transaction costs Management Science Vol. 25 No 11 Nov.,pp1127-1137

DAVIS M.H.-NORMAN A.R. (1990) Portfolio Selection with transaction costs .Mathematics of Operations Research Vol. 15 No 4 PP 676-713

DIMOPOULOS D (1998) . Technical analysis ,Eurocapital Pubications

DUFFIE D.-SUN T.(1990) Transaction costs and portfolio choice in a discrete-continuous time setting Journal of Economic Dynamics and Control 14 pp. 35-51.

DUMAS B.-LUCIANO EL.(1991) An exact Solution to a Dynamic Portfolio Choice Problem under Transaction Costs.The Journal of Finance Vol. XLVI No2 pp 577-595.

ECKER J.G –KUPFERSCHMID M. (1988) Introduction to Operations Research

Wiley 1988.

ELTON E.J.-GRUBER M.J. (1991) Modern portfolio theory and investment analysis Wiley.

GENCAY R.(1998) Optimization of technical trading strategies and the profitability in security markets. Economic Letters 59 pp249-254.

Kloeden E.P.-Platen E.-Schurtz H.(1997) Numerical Solutions of SDE Through Computer Experiments Springer

KIOCHOS P.(1993) Statistical Analysis of the Labor Cost in the Greek Industries. Volume dedicated to the honor of professor Letsa ,published by the University of Pireas, Greece 1993 pp 186-197

KYRITSIS C.-SHARKEY P. (1998) Stochastic refinement of an optimal investment

model with adjustment costs of Jorgensen-Kort. Proceedings of the «HERMCA 98»

conference on computer mathematics and its applications ,at the University of Economics of Athens.

KYRITSIS C (1999) The impact of the convergence of the Greek economy to EMI in the stockmarket: Bayes , ,nested estimation of the stock trends .To appear in Archives of Economic History 1999 (Greece).

KYRITSIS C (1999) The impact of the War in Yogaslavia to the Athens Stockmarket: .To appear in Archives of Economic History 1999 (Greece).

Magee J.(1992) Technical Analysis of Stock Trends New York Institute of Finance

MAGILL m.j.p.- Constantinides G.M. (1976) Portfolio Selection with Transaction Costs. Journal of Economic Theory 13 ,pp245-263 .

Mallιaris A.G.-Brock W.A.(1982) Stochastic Methods in Economics and Finance North-Holland

MARKOWITZ ,HARRY (1959) Portfolio selection Efficient Diversification of Investments (N.Y.John Wiley and Sons 1959)

MERTZANIS CH.(1998) Limit of prices and variance of the general index in the Athens Stocmarket Proceedings of the Conference of the Institute of Statistics .

MILLIONIS A.E..-MOSCHOS D.(1998) Information Efficiency and application in the Athens Stockmarket. Proceedings of the Conference of the Institute of Statistics

Murphy J.J. Technical Analysis of the Futures Markets .New York Institute of Finance

Oksendal B (1995) Stochastic Differential equations Springer 1995

ROY S.(1995) Theory of dynamic choice for survival under uncertainty Mathematics of social sciences 30 pp171-194

ROY,A.D.(1952) “Safety-first and the Holding of Assets” Econometrics ,20 July 1952 ,pp 431-449 .

SHARP,W.F. (1972) Simple Strategies for Portfolio Diversification :Comment” Journal of Finance VII No 1 (March 1972 ) pp 127-129 .